最大K乘积


https://www.jianshu.com/p/98b025c50a46
设I是一个n位十进制整数。如果将I分割为k段,则可得到k个整数。这k个整数的乘积称为I的一个k乘积。试设计一个算法,对于给定的I和k,求出I的最大k乘积。
测试:
输入: 2 1 (2是位数,1是分几段)
   15 (15是I)
输出:15
输入: 5 2
   12345
输出:6170

分析:

1、数组m[i][j]为 将前i位数分成j段的最大乘积
  2、数组打底:前1位数,分成1段;前2位数,分成1段;前3位数,分成1段......前n位数,分成1段。(就是先计算出前i位的大小)
  3、m[i][j]=Max{m[k][j-1]*a[i-k]},其意思就是把前k(1<=k<i)个数分成j-1段,再乘以a[i-k],a[i-k]代表着,第k位到第i位数的数值.......

https://www.dreamxu.com/books/dsa/dp/max-k-product.html
将一个整数划分位 k 个整数,能不能将其转换为划分成 k-1 个整数的问题呢? 如果可行,同理 k-1 个整数可划分为 k-2 个整数,直到剩下一个整数, 然后将这些划分组合起来,原问题就能求解出来了
事实上确实是可行的,可以这么想:
无论怎么划分,整数 i 的最后 1 位或者多位肯定被划分为一个整数(假设为 l 位), 那么除了这个整数,前面的 n-l 位必定被划分为 k-1 个整数。 假设将 i 划分成 k 个整数,最后一个整数为 l 位,这种情况为最大划分, 那么 i 前面的 n-l 位分成 k-1 个整数必定也为最大划分
可用反证法证明:
设 mkp[x][y] 表示 i 的前 x 位组成的数分成 y 个整数,这 y 个整数的最大乘积
设 num[a][b] 表示取 i 的第 a 到 b 位(包括 a, b 位且第一位为 num[1][1]
那么 mkp[n][k] 就表示 i 共有 n 位,且将其分成 k 个整数的,这 k 个整数的最大乘积
假设将 i 划分成 k 个整数,最后一个整数为 l 位,这种情况为最大划分, 那么有如下等式成立:
mkp[n][k] = mkp[n-l][k-1] * num[l][n]
如果 mkp[n-l][k-1] 不是最大划分,那么必定有 mkp[n-l][k-1]' 为最大划分,即有
mkp[n-l][k-1] < 'mkp[n-l][k-1]
那么
mkp[n][k]' = mkp[n-l][k-1]' * num[l][n]
因为
mkp[n-l][k-1]' > mkp[n-l][k-1]
所以
mkp[n][k]' > mkp[n][k]
即 mkp[n][k] 不是最大划分,与上文 mkp[n][k] 为最大划分矛盾
以上证明了: 如果将 i 划分成 k 个整数,最后一个整数为 l 位,这种情况为最大划分, 那么 i 前面的 n-l 位分成 k-1 个整数必定也为最大划分

经过以上分析,我们能够得到如下结论:
mkp[x][y] = mkp[z][y-1] * num[z+1][x]
那么问题来了:我们不知道 z 的值,该怎么得到呢?
对于这个问题规模比较小的情况下,我们可以采用枚举法:
将 z 的所有可能值都取一遍,看看哪个 z 能使 mkp[z][y-1] * num[z+1][x] 最大, 这个最大值就是 mkp[x][y]

将以上所有思路整理一下,可得到如下最后的结论:
mkp[x][y] 表示 i 的前 x 位组成的数分成 y 个整数,这 y 个整数的最大乘积
num[a][b] 表示取 i 的第 a 到 b 位(包括 a, b 位且第一位为 num[1][1]
mkp[x][y] = x, 当 y = 1 时,此时只分成一个整数,就是 x
mkp[x][y] = max{ mkp[z][y-1] * num[z+1][x] }, 其中 y-1 <= z < x, 当 y != 1 时
其中 x >= y 是肯定的,因为不可能把一个 n 位的整数分成 n+1 个整数(举个例子), 所以很好理解 y-1 <= z < x

代码

来举个具体的例子实践下吧,要不然都不明白我在说啥
方法和编辑距离是一样的,先把子问题求解出来,然后一步步求解原问题
比如:将 12345 分成 3 个整数
首先定义一个 mkp 矩阵,然后填入 y = 1 时候的值,如下图:
mkp 矩阵填入 y=1 时候的值
其中打叉叉的是不可能取到的值,y 不可能大于 x
然后是计算 y = 2 的时候: 先计算 mkp[2][2], 即计算 max{ mkp[z][1] * num[z+1][2] }, 其中 1 <= z < 2
...
计算 mkp[5][2], 即计算 max{ mkp[z][1] * num[z+1][2] }, 其中 1 <= z < 5
最后计算 y = 3 的时候,直到计算完 mkp[5][3], 即可得到原问题的解
填写好的矩阵如下:
mkp 矩阵已经填写完毕
int num(int i, int n, int a, int b)
{
    return i / (int)pow(10, (n-b)) % (int)pow(10, b-a+1);
}

int max_of_mkpz(int n, int k, int mkp[n+1][k+1], int i, int x, int y)
{
    int max = mkp[y-1][y-1] * num(i, n, y, x);
    for (int z = y; z < x; z++) {
        if (max < (mkp[z][y-1] * num(i, n, z+1, x))) {
            max = mkp[z][y-1] * num(i, n, z+1, x);
        }
    }

    return max;
}

int max_k_product(int i, int k)
{
    int x, y;
    int n = (int)log10(i) + 1;
    int mkp[n+1][k+1];

    for (x = 1; x <= n; x++) {
        mkp[x][1] = num(i, n, 1, x);
    }

    for (y = 2; y <= k; y++) {
        for (x = y; x <= n; x++) {
            mkp[x][y] = max_of_mkpz(n, k, mkp, i, x, y);
        }
    }

    return mkp[n][k];
}

可进一步优化

仔细审查计算过程,其实 mkp[4][1]mkp[5][1]mkp[5][2]mkp[3][3]mkp[3][4] 是不用计算的
找到的规律是如下的 mkp 值不用计算:[4][2] 和 [5][3] 直线以下和 [5][3] 往上的值可不计算, 在图中表示出来如下所示:
mkp 矩阵标记可不计算的值
直线可表示成 x - y = n - k
进而可写出如下代码:
#include <math.h>

/* 获取 i 的位数 */
int get_digital(int i)
{
    int     n = 0;
    while (i != 0) {
        i /= 10;
        n++;
    }
    return n;
}

/* 获取 i 的第 a 到 b 位组成的数字 */
int get_num(int i, int n, int a, int b)
{
    return i / (int)pow(10, (n-b)) % (int)pow(10, b-a+1);
}

/* calc max{ mkp[z][y-1] * num[z+1][x], y-1 <= z < x */
int max_of_mkpz(int n, int k, int mkp[n+1][k+1], int i, int x, int y)
{
    int max = mkp[y-1][y-1] * get_num(i, n, y, x);
    for (int z = y; z < x; z++) {
        if (max < (mkp[z][y-1] * get_num(i, n, z+1, x))) {
            max = mkp[z][y-1] * get_num(i, n, z+1, x);
        }
    }
    return max;
}

/* plus version */
int max_k_product(int i, int k)
{
    if (k == 1) {
        return i;
    }

    int x, y;
    int n = get_digital(i);
    int mkp[n+1][k+1];

    for (x = 1; x <= n-k+1; x++) {
        mkp[x][1] = get_num(i, n, 1, x);
    }

    for (y = 2; y < k; y++) {
        for (x = y; x <= n-k+y; x++) {
            mkp[x][y] = max_of_mkpz(n, k, mkp, i, x, y);
        }
    }
    return max_of_mkpz(n, k, mkp, i, n, k);
}
很容易看到,空间复杂度可进一步优化,每次只会用到 mkp 矩阵的 2 列。 但是写出来的代码就比较复杂了

分隔位置

其实我一直想知道分成的 k 个整数是哪几个,所以动手来实现吧
那么多子问题的解 mkp[x][y] 我们得想办法知道,使原问题取得最优解的那 k-1 个子问题
稍微分析一下可知,使 mkp[z][y-1] * num[z+1][x] 取得最大值的那个 z 就是分隔位置, 因为整个表达式的意思就是将整数 num[1][x] 分成 y 个整数的最优解,而 z 就是最后一个分隔位置
所以解法就很明确了,我可以先把所有子问题的 z 都保存下来。 当确定了原问题的最优解时,我们可以一步步往前推算各个 z. 比如我们知道了 mkp[n][k] 的最优解,且 mkp[n][k] = mkp[z][k-1] * num[z+1][n] 这其中的 z 就是最优解的一个分隔位置,然后计算 mkp[n][k-1] 的最优解的分隔位置, 直到算出整数 i 的第一个分隔位置
这部分的代码在下一节,无限精度

无限精度

如果我们使用 int 型来计算,能算的整数位数非常有限,只有 9 位,这远远达不到我们爱玩的心态
所以稍微研究了一下,可以使用这个库实现我们的想法, The GNU Multiple Precision Arithmetic Library
以下是代码,只是重要部分的
#include "mkp.h"

/* 获取 i 的第 a 到 b 位组成的数字 rnt */
void get_num(mpz_t rnt, struct i_info *i_info, int a, int b)
{
    int n = i_info->len;
    mpz_t   pow;
    mpz_t   q;
    mpz_init(pow);
    mpz_init(q);

    mpz_ui_pow_ui(pow, 10, n-b);
    mpz_fdiv_q(q, i_info->i, pow);
    mpz_ui_pow_ui(pow, 10, b-a+1);
    mpz_fdiv_r(rnt, q, pow);

    mpz_clear(pow);
    mpz_clear(q);
}

/*
 * 计算 max{ mkp[z][y-1] * num[z+1][x] }, y-1 <= z < x,
 * 并返回使以上值最大那个 z
 */
int max_of_mkpz(mpz_t rnt,
                int n, int k, mpz_t mkp[n+1][k+1],
                struct i_info *i_info, int x, int y)
{
    int     maxz;
    mpz_t   temp;
    mpz_init(temp);

    get_num(temp, i_info, y, x);
    mpz_mul(rnt, mkp[y-1][y-1], temp);
    maxz = y-1;
    for (int z = y; z < x; z++) {
        get_num(temp, i_info, z+1, x);
        mpz_mul(temp, mkp[z][y-1], temp);
        if (mpz_cmp(rnt, temp) < 0) {
            mpz_set(rnt, temp);
            maxz = z;
        }
    }

    mpz_clear(temp);
    return maxz;
}

void process_two_dimensional_mpz(int n, int k, mpz_t mkp[n+1][k+1],
                                 void process(mpz_t))
{
    /*
     * 不用考虑 k = 1 的情况
     * 当这种情况发生时,max_k_product 直接返回 i 的值
     * 不会用到 mkp[][]
     */
    for (int y = 1; y < k; y++) {
        for (int x = y; x <= n-k+y; x++) {
            process(mkp[x][y]);
        }
    }
    process(mkp[n][k]);
}

void max_k_product(struct mkp_info *rnt, struct i_info *i_info)
{
    int k = i_info->k;
    if (k == 1) {
        mpz_set(rnt->mkp, i_info->i);
        rnt->pos[0] = 0;
        rnt->pos[k] = i_info->len;
        return;
    }

    int x, y;
    int n = i_info->len;
    int pos[n+1][k+1];
    mpz_t mkp[n+1][k+1];
    process_two_dimensional_mpz(n, k, mkp, mpz_init);

    for (x = 1; x <= n-k+1; x++) {
        get_num(mkp[x][1], i_info, 1, x);
    }

    for (y = 2; y < k; y++) {
        for (x = y; x <= n-k+y; x++) {
            pos[x][y] = max_of_mkpz(mkp[x][y], n, k, mkp, i_info, x, y);
        }
    }
    pos[n][k] = max_of_mkpz(mkp[n][k], n, k, mkp, i_info, n, k);
    mpz_set(rnt->mkp, mkp[n][k]);

    /* pos 存储的是断开位置,指向的是前一个数的最后一个数字 */
    rnt->pos[0] = 0;
    rnt->pos[k] = n;
    for (y = k; y > 1; y--) {
        rnt->pos[y-1] = pos[rnt->pos[y]][y];
    }

    process_two_dimensional_mpz(n, k, mkp, mpz_clear);
}


Labels

LeetCode (1432) GeeksforGeeks (1122) LeetCode - Review (1067) Review (882) Algorithm (668) to-do (609) Classic Algorithm (270) Google Interview (237) Classic Interview (222) Dynamic Programming (220) DP (186) Bit Algorithms (145) POJ (141) Math (137) Tree (132) LeetCode - Phone (129) EPI (122) Cracking Coding Interview (119) DFS (115) Difficult Algorithm (115) Lintcode (115) Different Solutions (110) Smart Algorithm (104) Binary Search (96) BFS (91) HackerRank (90) Binary Tree (86) Hard (79) Two Pointers (78) Stack (76) Company-Facebook (75) BST (72) Graph Algorithm (72) Time Complexity (69) Greedy Algorithm (68) Interval (63) Company - Google (62) Geometry Algorithm (61) Interview Corner (61) LeetCode - Extended (61) Union-Find (60) Trie (58) Advanced Data Structure (56) List (56) Priority Queue (53) Codility (52) ComProGuide (50) LeetCode Hard (50) Matrix (50) Bisection (48) Segment Tree (48) Sliding Window (48) USACO (46) Space Optimization (45) Company-Airbnb (41) Greedy (41) Mathematical Algorithm (41) Tree - Post-Order (41) ACM-ICPC (40) Algorithm Interview (40) Data Structure Design (40) Graph (40) Backtracking (39) Data Structure (39) Jobdu (39) Random (39) Codeforces (38) Knapsack (38) LeetCode - DP (38) Recursive Algorithm (38) String Algorithm (38) TopCoder (38) Sort (37) Introduction to Algorithms (36) Pre-Sort (36) Beauty of Programming (35) Must Known (34) Binary Search Tree (33) Follow Up (33) prismoskills (33) Palindrome (32) Permutation (31) Array (30) Google Code Jam (30) HDU (30) Array O(N) (29) Logic Thinking (29) Monotonic Stack (29) Puzzles (29) Code - Detail (27) Company-Zenefits (27) Microsoft 100 - July (27) Queue (27) Binary Indexed Trees (26) TreeMap (26) to-do-must (26) 1point3acres (25) GeeksQuiz (25) Merge Sort (25) Reverse Thinking (25) hihocoder (25) Company - LinkedIn (24) Hash (24) High Frequency (24) Summary (24) Divide and Conquer (23) Proof (23) Game Theory (22) Topological Sort (22) Lintcode - Review (21) Tree - Modification (21) Algorithm Game (20) CareerCup (20) Company - Twitter (20) DFS + Review (20) DP - Relation (20) Brain Teaser (19) DP - Tree (19) Left and Right Array (19) O(N) (19) Sweep Line (19) UVA (19) DP - Bit Masking (18) LeetCode - Thinking (18) KMP (17) LeetCode - TODO (17) Probabilities (17) Simulation (17) String Search (17) Codercareer (16) Company-Uber (16) Iterator (16) Number (16) O(1) Space (16) Shortest Path (16) itint5 (16) DFS+Cache (15) Dijkstra (15) Euclidean GCD (15) Heap (15) LeetCode - Hard (15) Majority (15) Number Theory (15) Rolling Hash (15) Tree Traversal (15) Brute Force (14) Bucket Sort (14) DP - Knapsack (14) DP - Probability (14) Difficult (14) Fast Power Algorithm (14) Pattern (14) Prefix Sum (14) TreeSet (14) Algorithm Videos (13) Amazon Interview (13) Basic Algorithm (13) Codechef (13) Combination (13) Computational Geometry (13) DP - Digit (13) LCA (13) LeetCode - DFS (13) Linked List (13) Long Increasing Sequence(LIS) (13) Math-Divisible (13) Reservoir Sampling (13) mitbbs (13) Algorithm - How To (12) Company - Microsoft (12) DP - Interval (12) DP - Multiple Relation (12) DP - Relation Optimization (12) LeetCode - Classic (12) Level Order Traversal (12) Prime (12) Pruning (12) Reconstruct Tree (12) Thinking (12) X Sum (12) AOJ (11) Bit Mask (11) Company-Snapchat (11) DP - Space Optimization (11) Dequeue (11) Graph DFS (11) MinMax (11) Miscs (11) Princeton (11) Quick Sort (11) Stack - Tree (11) 尺取法 (11) 挑战程序设计竞赛 (11) Coin Change (10) DFS+Backtracking (10) Facebook Hacker Cup (10) Fast Slow Pointers (10) HackerRank Easy (10) Interval Tree (10) Limited Range (10) Matrix - Traverse (10) Monotone Queue (10) SPOJ (10) Starting Point (10) States (10) Stock (10) Theory (10) Tutorialhorizon (10) Kadane - Extended (9) Mathblog (9) Max-Min Flow (9) Maze (9) Median (9) O(32N) (9) Quick Select (9) Stack Overflow (9) System Design (9) Tree - Conversion (9) Use XOR (9) Book Notes (8) Company-Amazon (8) DFS+BFS (8) DP - States (8) Expression (8) Longest Common Subsequence(LCS) (8) One Pass (8) Quadtrees (8) Traversal Once (8) Trie - Suffix (8) 穷竭搜索 (8) Algorithm Problem List (7) All Sub (7) Catalan Number (7) Cycle (7) DP - Cases (7) Facebook Interview (7) Fibonacci Numbers (7) Flood fill (7) Game Nim (7) Graph BFS (7) HackerRank Difficult (7) Hackerearth (7) Inversion (7) Kadane’s Algorithm (7) Manacher (7) Morris Traversal (7) Multiple Data Structures (7) Normalized Key (7) O(XN) (7) Radix Sort (7) Recursion (7) Sampling (7) Suffix Array (7) Tech-Queries (7) Tree - Serialization (7) Tree DP (7) Trie - Bit (7) 蓝桥杯 (7) Algorithm - Brain Teaser (6) BFS - Priority Queue (6) BFS - Unusual (6) Classic Data Structure Impl (6) DP - 2D (6) DP - Monotone Queue (6) DP - Unusual (6) DP-Space Optimization (6) Dutch Flag (6) How To (6) Interviewstreet (6) Knapsack - MultiplePack (6) Local MinMax (6) MST (6) Minimum Spanning Tree (6) Number - Reach (6) Parentheses (6) Pre-Sum (6) Probability (6) Programming Pearls (6) Rabin-Karp (6) Reverse (6) Scan from right (6) Schedule (6) Stream (6) Subset Sum (6) TSP (6) Xpost (6) n00tc0d3r (6) reddit (6) AI (5) Abbreviation (5) Anagram (5) Art Of Programming-July (5) Assumption (5) Bellman Ford (5) Big Data (5) Code - Solid (5) Code Kata (5) Codility-lessons (5) Coding (5) Company - WMware (5) Convex Hull (5) Crazyforcode (5) DFS - Multiple (5) DFS+DP (5) DP - Multi-Dimension (5) DP-Multiple Relation (5) Eulerian Cycle (5) Graph - Unusual (5) Graph Cycle (5) Hash Strategy (5) Immutability (5) Java (5) LogN (5) Manhattan Distance (5) Matrix Chain Multiplication (5) N Queens (5) Pre-Sort: Index (5) Quick Partition (5) Quora (5) Randomized Algorithms (5) Resources (5) Robot (5) SPFA(Shortest Path Faster Algorithm) (5) Shuffle (5) Sieve of Eratosthenes (5) Strongly Connected Components (5) Subarray Sum (5) Sudoku (5) Suffix Tree (5) Swap (5) Threaded (5) Tree - Creation (5) Warshall Floyd (5) Word Search (5) jiuzhang (5)

Popular Posts