计算数字k在0到n中的出现的次数

https://blog.csdn.net/kkdd2013/article/details/51882774
计算数字k在0到n中的出现的次数，k可能是0~9的一个值
例如n=12，在 [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]中，我们发现1出现了5次 (1, 10, 11, 12)
思路一：我们可以用最简单的办法先尝试一下，遍历1到n中间的每个整数，对每个整数从低位到高位依次检查，如果有k出现则计数器自加。
思路一最大的问题就是效率，当n非常大时，就需要很长的运行时间。想要提高效率，就要避开暴力法，从数字中找出规律。
思路二：来自《编程之美》
假设有一个5位数N=ABCDE，我们现在来考虑百位上出现2的次数，即：从0到ABCDE的数中，有多少个数的百位上是2。分析完它，就可以用同样的方法去计算个位，十位，千位，万位等各个位上出现2的次数。
第一种情况：当百位上的数C小于2时：
1）当百位c为0时，比如说12013，0到12013中哪些数的百位会出现2？我们从小的数起， 200~299, 1200~1299, 2200~2299, … , 11200~11299, 也就是固定低3位为200~299，然后高位依次从0到11，共12个。再往下12200~12299 已经大于12013，因此不再往下。所以，当百位为0时，百位出现2的次数只由更高位决定，等于更高位数字(12)x当前位数(100)=1200个。
2）当百位C为1时，比如说12113。分析同上，并且和上面的情况一模一样。最大也只能到11200~11299，所以百位出现2的次数也是1200个。
上面两步综合起来，可以得到以下结论：
—>当某一位的数字小于2时，那么该位出现2的次数为：更高位数字x当前位数
第二种情况：当百位上的数C等于2时：
当百位C为2时，比如说12213。那么，我们还是有200~299, 1200~1299, 2200~2299, … , 11200~11299这1200个数，他们的百位为2。但同时，还有一部分12200~12213，共14个(低位数字+1)。所以，当百位数字为2时，百位出现2的次数既受高位影响也受低位影响，结论如下：
—>当某一位的数字等于2时，那么该位出现2的次数为：更高位数字x当前位数+低位数字+1
第三种情况：当百位上的数C大于2时：
当百位C大于2时，比如说12313，那么固定低3位为200~299，高位依次可以从0到12，这一次就把12200~12299也包含了，同时也没低位什么事情。因此出现2的次数是： (更高位数字+1)x当前位数。结论如下：
—>当某一位的数字大于2时，那么该位出现2的次数为：(更高位数字+1)x当前位数
通过上述分析，我们可以得到以下规律：
 当某一位的数字小于i时，那么该位出现i的次数为：更高位数字x当前位数
 当某一位的数字等于i时，那么该位出现i的次数为：更高位数字x当前位数+低位数字+1
 当某一位的数字大于i时，那么该位出现i的次数为：(更高位数字+1)x当前位数
    int digitCounts2(int n, int k)
    {
        int result = 0;
        int base = 1;
        while (n/base > 0)
        {
            int cur = (n/base)%10;
            int low = n - (n/base) * base;
            int high = n/(base * 10);

            if (cur == k)
            {
                result += high * base + low + 1;
            } elseif (cur <k)
            {
                result += high * base;
            } else
            {
                result += (high + 1) * base;
            }
            base *= 10;
        }
        return result;
    }

https://blog.csdn.net/zhaoxiangyu1/article/details/47208107

public static int digitCounts(int k, int n) {
    int result = 0;
    int base = 1; //位, 个位/十位/百位
    if (k == 0 && n == 0) {
        return 1;
    }

    while (n / base > 0) {
        int cur = (n / base) % 10;
        int low = n - (n/base) * base;
        int hight = n / (base * 10);

        if (k == 0 && cur > k){
            if (hight != 0) {
                result += hight + 1;
            } else {
                result += hight;
            }
        } else if (cur == k){
            result += hight * base + low + 1;
        } else if (cur < k ){
            result += hight * base;
        } else {
            result += (hight + 1) * base;
        }

        base *= 10;

    }


    return result;
}

http://www.cnblogs.com/cyjb/p/digitOccurrenceInRegion.html

最简单的办法就是依次遍历 1 至 n，再分别求每个数字中 X 出现的次数，代码如下所示：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

#include <stdio.h>   // 计算数字 X 在 n 中出现的次数。 int countOne(int n, int x) {     int cnt = 0;     for (;n > 0;n /= 10) {         if (n % 10 == x) {             cnt++;         }     }     return cnt; } // 计算数字 X 在 1-n 中出现的次数。 int count(int n, int x) {     int cnt = 0;     for (int i = 1;i <= n;i++) {         cnt += countOne(i, x);     }     return cnt; } int main() {     printf("%d\n", count(237, 1)); }

这个方法的缺点是时间复杂度太高，countOne 方法的时间复杂度是 O(log10n)$O({\log }_{10}n)$，count 方法的时间复杂度是 O(nlog10n)$O(n{\log }_{10}n)$。

一个更好的办法是利用数学公式直接计算出最终的结果，该方法是依次求出数字 X 在个位、十位、百位等等出现的次数，再相加得到最终结果。这里的 X∈[1,9]$X\in [1,9]$，因为 X=0$X=0$ 不符合下列规律，需要单独计算。

首先要知道以下的规律：

• 从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次。
• 从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 X 都出现了 10 次。
• 从 1 至 1000，在它们的千位数中，任意的 X 都出现了 100 次。

依此类推，从 1 至 10i${10}^i$，在它们的左数第二位（右数第 i$i$ 位）中，任意的 X 都出现了 10i−1${10}^{i-1}$ 次。

这个规律很容易验证，这里不再多做说明。

接下来以 n=2593,X=5$n=2593,X=5$ 为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位，260 次出现在十位，294 次出现在百位，0 次出现在千位。

现在依次分析这些数据，首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，因为它们最大的个位数字 3 < X，因此不会包含任何 5。

然后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，因此任意的 X 都出现了 25×10=250$25\times 10=250$ 次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。

接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，因此任意的 X 都出现了 2×100=200$2\times 100=200$ 次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。

最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X，所以不会包含任何 5。到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。

总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第 i$i$ 位包含的 X 的个数时：

1. 取第 i$i$ 位左边（高位）的数字，乘以 10i−1${10}^{i-1}$，得到基础值 a$a$。
2. 取第 i$i$ 位数字，计算修正值：
   1. 如果大于 X，则结果为 a+10i−1$a+{10}^{i-1}$。
   2. 如果小于 X，则结果为 a$a$。
   3. 如果等 X，则取第 i$i$ 位右边（低位）数字，设为 b$b$，最后结果为 a+b+1$a+b+1$。

相应的代码非常简单，效率也非常高，时间复杂度只有 O(log10n)$O({\log }_{10}n)$。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

// 计算数字 X 在 1-n 中出现的次数。 int count(int n, int x) {     int cnt = 0, k;     for (int i = 1;k = n / i;i *= 10) {         // k / 10 为高位的数字。         cnt += (k / 10) * i;         // 当前位的数字。         int cur = k % 10;         if (cur > x) {             cnt += i;         } else if (cur == x) {             // n - k * i 为低位的数字。             cnt += n - k * i + 1;         }     }     return cnt; }

当 X = 0 时，规律与上面给出的规律不同，需要另行考虑。

最主要的区别是，最高位中永远是不会包含 0 的，因此，从个位累加到左起第二位就要结束，需要将上面代码中 for 循环的判断条件改为 k / 10 != 0。

其次是，第 i$i$ 位的基础值不是高位数字乘以 10i−1${10}^{i-1}$，而是乘以 10i−1−1${10}^{i-1}-1$。以 1 至 102 为例，千位中实际包含 3 个 0，但这三个 0 是来自于个位 2 计算得到的修正值，而非来自于基础值。千位的基础值是 0，因为不存在数字 01, 02, 03, ..., 09，即数字前是没有前导 0 的。解决办法就是将上面代码中第 6 行改为 cnt += (k / 10 - 1) * i。

经过综合与化简，得到了以下代码：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

// 计算数字 0 在 1-n 中出现的次数。 int countZero(int n) {     int cnt = 0, k;     // k / 10 为高位的数字。     for (int i = 1;(k = n / i) / 10;i *= 10) {         cnt += (k / 10) * i;         // k % 10 为当前位的数字。         if (k % 10 == 0) {             // n - k * i 为低位的数字。             cnt += n - k * i + 1 - i;         }     }     return cnt; }

主要是将一些步骤进行了合并，令代码比较简练。

将上面两段代码进行合并，可以得到以下代码，对 X 从 0 到 9 都有效：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

// 计算数字 X 在 1-n 中出现的次数。 int count(int n, int x) {     int cnt = 0, k;     for (int i = 1;k = n / i;i *= 10) {         // 高位的数字。         int high = k / 10;         if (x == 0) {             if (high) {                 high--;             } else {                 break;             }         }         cnt += high * i;         // 当前位的数字。         int cur = k % 10;         if (cur > x) {             cnt += i;         } else if (cur == x) {             // n - k * i 为低位的数字。             cnt += n - k * i + 1;         }     }     return cnt; }