扫雷游戏的概率 - 编程之美4.11

http://blog.sina.com.cn/s/blog_8e356e1601011m5h.html

问题一：当这个游戏有40个地雷没有被发现的时候，A、B、C三个方块有地雷的概率P(A),P(B),P(C)各是多少？?

问题二：这个游戏局面一共有16*16=256个方块，P(A),P(B),P(C)的相互大小关系和当前局面中地雷总数有联系么？比如，当地雷总数从10个逐渐变化到240个，P(A),P(B),P(C)的三条曲线是如何变化的？它们会不会相交？

在图一和图二中，P(A)的概率是相等的吗？换句话说，P(A)的概率和局面的总雷数有关系吗？设总雷数为N,棋盘大小为M(这里M=25),图中可能出现的布局总数有C(M-9,N-1 )*C(8,1) 种，其中A点有雷的布局总数有C(M-9,N-1)*C(1,1) 种。

所以P(A)=  (M-9,N-1)*C(1,1)  / [C(M-9,N-1 )*C(8,1)  ]=1/8 ，即P(A)的概率和局面的总雷数无关。下面进行下一步讨论。

在图三和图四中，P(A)的概率是相等的吗？这时图中雷的布局分成了两种情况。 这里M=30

第一种：在中间3*4的范围内有一颗雷。

第二种：在中间3*4的范围内有二颗雷。

情况一：

所有的布局总数有C(M-12,N-1) *C(4,1) 种，其中A点有雷的总数有0种。

情况二：

所有的布局总数有C(M-12,N-2) *C(3,1) *C(3,1) 种，其中A点有雷的总数有C(M-12,N-2)*C(1,1) *C(3,1) 种。

所以P(A)= C(M-12,N-2 )*C(1,1) *C(3,1) / [ C(M-12,N-2) *C(3,1) *C(3,1) ]

从上式可以看出P(A)和总雷数N有关系，下图是P(A)和总雷数N的曲线

 

为什么这一次的概率会和总雷数相关呢？问题就在于中间的3*4的方块中的雷数不确定。按照这个思路，题目中的问题就迎刃而解了。 

http://blog.csdn.net/fivedoumi/article/details/7705073
根据数字1和2的提示, 图示3×5方格中至少2个地雷, 至多3个地雷. 记

M=16×16=256为扫雷游戏中格子总数, N为地雷总数. 分两种情况考虑.

1. 图中共2个地雷时可能的情况总数: (M−15N−2)⋅(31)⋅(51).
   • A处为地雷的情况总数: 0.
   • B处为地雷的情况总数: (M−15N−2)⋅1⋅(51).
   • C处为地雷的情况总数: (M−15N−2)⋅(31)⋅1.
2. 图中共3个地雷时可能的情况总数: (M−15N−3)⋅(51)⋅(52).
   • A处为地雷的情况总数: (M−15N−3)⋅1⋅(52).
   • B处为地雷的情况总数: 0.
   • C处为地雷的情况总数: (M−15N−3)⋅(51)⋅(41).

要求的概率可以简单地相除得到:

P(A)P(B)P(C)=10⋅(M−15N−3)15⋅(M−15N−2)+50⋅(M−15N−3);=5⋅(M−15N−2)15⋅(M−15N−2)+50⋅(M−15N−3);=3⋅(M−15N−2)+20⋅(M−15N−3)15⋅(M−15N−2)+50⋅(M−15N−3).

注意到所求的是比值, 所以(M−15N−2)和(M−15N−3)的值并不重要, 只需知道二者之比. 可以利用

(M−15N−3)=M−N−12N−2⋅(M−15N−2)

http://www.verydemo.com/demo_c92_i249834.html