Massive Algorithms: 动态规划加速原理之四边形不等式

在动态规划的转移方程中，常见这样一种转移方程：

四边形不等式优化动态规划原理:

1.当决策代价函数w[i][j]满足w[i][j]+w[i’][j’]<=w[I;][j]+w[i][j’](i<=i’<=j<=j’)时,称w满足四边形不等式.当函数w[i][j]满足w[i’][j]<=w[i][j’] i<=i’<=j<=j’)时,称w关于区间包含关系单调.

2.如果状态转移方程m为

且决策代价w满足四边形不等式的单调函数(可以推导出m亦为满足四边形不等式的单调函数),则可利用四边形不等式推出最优决策s的单调函数性,从而减少每个状态的状态数,将算法的时间复杂度由原来的O(n^3)降低为O(n^2).方法是通过记录子区间的最优决策来减少当前的决策量.令:

s[i][j]=max{k | ma[i][j] = m[i][k-1] + m[k][j] + w[i][j]}

由于决策s具有单调性,因此状态转移方程可修改为:

证明过程: (转载)

设m[i,j]表示动态规划的状态量。

m[i,j]有类似如下的状态转移方程：

m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]}(i≤k≤j)

如果对于任意的a≤b≤c≤d，有m[a,c]+m[b,d]≤m[a,d]+m[b,c]，那么m[i,j]满足四边形不等式。

以上是适用这种优化方法的必要条件

对于一道具体的题目，我们首先要证明它满足这个条件，一般来说用数学归纳法证明，根据题目的不同而不同。

通常的动态规划的复杂度是O(n³)，我们可以优化到O(n²)

设s[i,j]为m[i,j]的决策量，即m[i,j]=m[i,s[i,j]]+m[s[i,j]+j]

我们可以证明，s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j] （证明过程见下）

那么改变状态转移方程为：

m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]} (s[i,j-1]≤k≤s[i+1,j])

复杂度分析：不难看出，复杂度决定于s的值，以求m[i,i+L]为例，

(s[2,L+1]-s[1,L])+(s[3,L+2]-s[2,L+1])…+(s[n-L+1,n]-s[n-L,n-1])=s[n-L+1,n]-s[1,L]≤n

所以总复杂度是O(n²)

对s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]的证明：

设m_k[i,j]=m[i,k]+m[k,j]，s[i,j]=d

对于任意k<d，有m_k[i,j]≥m_d[i,j]（这里以m[i,j]=min{m[i,k]+m[k,j]}为例,max的类似），接下来只要证明m_k[i+1,j]≥m_d[i+1,j]，那么只有当s[i+1,j]≥s[i,j]时才有可能有m_s[i+1,j][i+1,j]≤m_d[i+1,j]

(m_k[i+1,j]-m_d[i+1,j]) - (m_k[i,j]-m_d[i,j])

=(m_k[i+1,j]+m_d[i,j]) - (m_d[i+1,j]+m_k[i,j])

=(m[i+1,k]+m[k,j]+m[i,d]+m[d,j]) - (m[i+1,d]+m[d,j]+m[i,k]+m[k,j])

=(m[i+1,k]+m[i,d]) - (m[i+1,d]+m[i,k])

∵m满足四边形不等式，∴对于i<i+1≤k<d有m[i+1,k]+m[i,d]≥m[i+1,d]+m[i,k]

∴(m_k[i+1,j]-m_d[i+1,j])≥(m_k[i,j]-m_d[i,j])≥0

∴s[i,j]≤s[i+1,j]，同理可证s[i,j-1]≤s[i,j]

证毕

四边形不等式优化的大致流程是：

如果w[i][j]满足四边形不等式即w[i][j]+w[i'][j']<=w[i][j']+w[i'][j] (i<=i'<=j<=j')，

那么f[i][j]也满足四边形不等式，

设f[i][j]=f[i-1][k]+w[k+1][j]，f[i][j]在k的时候取到最优值，记s[i][j]=k，则s[i][j]满足单调性:

s[i-1][j]<=s[i][j]<=s[i][j+1]

于是k就不需要从1开始枚举了，从s[i-1][j]到s[i][j+1]枚举即可。

这里有详细证明。

一般证明dp方程满足四边形不等式比较复杂，因此我们只要把s[i][j]暴力求出，看是否满足s[i-1][j]<=s[i][j]<=s[i][j+1]即可。

Labels