Massive Algorithms: Binary Index Tree 树状数组总结

Binary Index Tree 树状数组总结

初步搞懂树状数组
树状数组用来求区间元素和，求一次区间元素和的时间效率为O(logn)。
有些同学会觉得很奇怪。用一个数组S[i]保存序列A[]的前i个元素和，那么求区间i,j的元素和不就为S[j]-S[i-1]，那么时间效率为O(1)，岂不是更快？
但是，如果题目的A[]会改变呢？例如：
我们来定义下列问题，我们有n个盒子。可能的两个操作为：
1.向盒子k添加石块
2.查询从盒子i到盒子j总的石块数
自然的解法带有对操作1为O(1)而对操作2为O(n)的时间复杂度。但是用树状数组，对操作1和2的时间复杂度都为O(logn)。

网络上面都有上图，但是我将这个图做了2点改进。

（1）图中有一棵满二叉树，满二叉树的每一个结点对应A[]中的一个元素。
（2）C[i]为A[i]对应的那一列的最高的节点。

现在告诉你：序列C[]就是树状数组。那么C[]如何求得？
C[1]=A[1];
C[2]=A[1]+A[2];
C[3]=A[3];
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
C[5]=A[5];
C[6]=A[5]+A[6];
C[7]=A[7];
C[8]= A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

现在不得不引出关于二进制的一个规律：先仔细看下图：

将十进制化成二进制，然后观察这些二进制数最右边1的位置：
1 --> 00000001
2 --> 00000010
3 --> 00000011
4 --> 00000100
5 --> 00000101
6 --> 00000110
7 --> 00000111
8 --> 00001000

1的位置其实从我画的满二叉树中就可以看出来。但是这与C[]有什么关系呢？接下来的这部分内容很重要：

在满二叉树中，
以1结尾的那些结点（C[1],C[3],C[5],C[7]），其叶子数有1个，所以这些结点C[i]代表区间范围为1的元素和；
以10结尾的那些结点（C[2],C[6]），其叶子数为2个，所以这些结点C[i]代表区间范围为2的元素和；
以100结尾的那些结点（C[4]），其叶子数为4个，所以这些结点C[i]代表区间范围为4的元素和；
以1000结尾的那些结点（C[8]），其叶子数为8个，所以这些结点C[i]代表区间范围为8的元素和。
扩展到一般情况：

i 的二进制中的从右往左数有连续的x个“0”，那么拥有2^x个叶子，为序列A[]中的第i-2^x+1到第i个元素的和。
终于，我们得到了一个C[i]的具体定义：
C[i]=A[i-2^x+1]+…+A[i]，其中x为i 的二进制数中的从右往左数有连续“0”的个数。(i>=1)

http://www.cnblogs.com/huangxincheng/archive/2012/12/05/2802858.html
展现了位运算与数组结合的神奇魅力

之所以采用这样的分布方式，是因为我们使用的是这样的一个公式：S[i]=a[i-2^k+1]+....+a[i]。

其中：2^k 中的k表示当前S[i]在树中的层数，它的值就是i的二进制中末尾连续0的个数，2^k也就是表示S[i]中包含了哪些a[]，

举个例子: i=6₁₀=0110₂；可以发现末尾连续的0有一个，即k=1，则说明S[6]是在树中的第二层，并且S[6]中有2¹项，随后我们求出了起始项：

a[6-2¹+1]=a[5]，但是在编码中求出k的值还是有点麻烦的，所以我们采用更灵巧的Lowbit技术，即：2^k=i&-i 。

则：S[6]=a[6-2¹+1]=a[6-(6&-6)+1]=a[5]+a[6]。

http://www.hawstein.com/posts/binary-indexed-trees.html

分离出最后的1

注意: 最后的1表示一个整数的二进制表示中，从左向右数最后的那个1。

由于我们经常需要将一个二进制数的最后的1提取出来，因此采用一种高效的方式来做这件事是十分有必要的。令num是我们要操作的整数。在二进制表示中，num可以记为a1b, a代表最后的1前面的二进制数码，由于a1b中的1代表的是从左向右的最后一个1，因此b全为0，当然b也可以不存在。比如说13=1101，这里最后的1右边没有0，所以b不存在。

我们知道，对一个数取负等价于对该数的二进制表示取反加1。所以-num等于(a1b)^- +1= a^- 0b^- +1。由于b全是0，所以b^- 全为1。最后，我们得到：

-num=(a1b)^- +1=a^- 0b^- +1=a^- 0(1…1)+1=a^- 1(0…0)=a^- 1b

现在，我们可以通过与操作(在C++,java中符号为&)将num中最后的1分离出来：

num & -num = a1b & a^- 1b = (0…0)1(0…0)

int lowbit(int t){//计算c[t]展开的项数   
   return t&(-t);   
  }   
  
例：   
lowbit(1)=1   C1 = A1   
lowbit(2)=2   C2 = A1 + A2   
lowbit(3)=1   C3 = A3   
lowbit(4)=4   C4 = A1 + A2 + A3 + A4   
lowbit(5)=1   C5 = A5   
lowbit(6)=2   C6 = A5 + A6   
lowbit(7)=1   C7 = A7   
lowbit(8)=8   C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8   
.......   
c[t]展开的项数就是lowbit(t),c[t]就是从a[t]开始往左连续求lowbit(t)个数的和，

 public class TreeArray{   
       int n;//数组元素个数   
       int[] a;//原数组   
       int[] c;//对应的树状数组   
  
  public TreeArray(int[] a){   
       n=a.length;   
       this.a=a;   
       c=new int[a.length];   
       for(int i=1;i< a.length;i++){   //从下标1开始
           for(int j=0;j< lowbit(i);j++)   
             c[i]=c[i]+a[i-j];   
       }   
  }   
  
  
  private int lowbit(int t){//计算c[t]展开的项数   
   return t&(-t);   
  }   
      
  private void update(int i,int x){    
      while(i<=n){    
        c[i]=c[i]+x;    
        i=i+lowbit(i);    
     }    
    }    
  
  private int Sum(int k){ //求前k项的和.   从下标1开始
   int sum=0;    
    while(k>0){    
       sum+=c[k];    
       k=k-lowbit(k);    
    }        
    return sum;    
  }    
  
    public static void main(String args[]){   
       int a[]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};   //从下标1开始
       TreeArray ta=new TreeArray(a);   
       System.out.println(ta.Sum(10));   
        ta.update(5,-20);   
       System.out.println(ta.Sum(10));   
       System.out.println(ta.Sum(4));   
  
    }   
 }

http://blog.csdn.net/chenguolinblog/article/details/10050049

1 一维树状数组

1 什么是树状数组
树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构，假设数组A[1..n]，那么查询A[1]+...+A[n]的时，间是log级别的，而且是一个在线的数据结构。

2 树状数组作用
我们经常会遇到动态连续和查询问题，给定n个元素A[1~N]，让我们求sum[L,R] = A[L]+...+A[R]，或者更改A[i]的值。

假设数据很小的时候，那么我们利用暴力就可以搞定，这个时候更改A[i]的复杂度为O(1)，但是求和的复杂度为O(n)，如果有m次求和就是O(n*m)，但是m很大的时候这个方法显然是不能够满足效率的要求。这个时候我们引入树状数组，树状数组的求和和更新都是O(logN)，所以大大的降低了复杂度。

3 具体分析

1 建立树状数组就是先把A[] 和 C[]清空，然后假设有n个数那么就是做n次的update()操作就是建立树状数组，所以总的时间复杂度为O(nlogn)。
2 设原数组为A[1..N]，树状数组为c[1..N]，其中c[k] = A[k-(2^t)+1] + ... + A[k]。比如c[6] = A[5] + A[6]。

假设 A为被计数数组，C为树状数组（计数）

        0000 0001：C1 = A1
        0000 0010：C2 = A1 + A2
      0000 0011：C3 = A3
        0000 0100：C4 = A1 + A2 + A3 + A4
        0000 0101：C5 = A5
      0000 0110：C6 = A5 + A6
        0000 0111：C7 = A7
      0000 1000：C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
...
      0001 0000：C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8+ A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15+ A16

3 也就是说，把k表示成二进制1***10000，那么c[k]就是A[1***00001] + A[1***00010] + ... + A[1***10000] 这一段数的和。

4 设一个函数lowbit(k)为取得k的最低非零位，容易发现，根据上面的表示方法，从A[1]到A[k]的所有数的总和即为
sum[k] = c[k] + c[k-lowestbit(k)] + c[k-lowestbit(k)-lowestbit(k-lowestbit(k))] + ... 于是可以在logk的时间内求出sum[k]。

5 当数组中某元素发生变化时，需要改动的c值是c[k],c[k+lowestbit(k)], c[k+lowestbit(k)+lowestbit(k+lowestbit(k))] ... 这个复杂度是logN (N为最大范围)

     6 如果题目要求sum[L , R] = sum[R]-sum[L-1]
        sum[L-1] = A[1]+A[2]+...+A[L-1]
        sum[R] = A[1]+A[2]+...+A[L]+...+A[R]
        sum[R]-sum[L-1] = A[L]+A[L+2]+...+A[R]

7 树状数组的下标严格从1开始，所以如果出现0的情况要注意加1.(因为lowbit(0)是0所以如果出现为0的时候会进入无限循环中) , 树状数组中的每个元素至少含有它本身的一个值。

2 二维树状数组

1 二维树状数组说白了就是每一维都是树状数组

      问题：一个由数字构成的大矩阵，能进行两种操作
                1 对矩阵里的某个数加上一个整数（可正可负）
                2 查询某个子矩阵里所有数字的和,要求对每次查询，输出结果。

   2 一维树状数组很容易扩展到二维，在二维情况下:数组A[][]的树状数组定义为：
     C[x][y] = ∑ a[i][j], 其中，x-lowbit(x) + 1 <= i <= x , y-lowbit(y) + 1 <= j <= y.

   3 例：举个例子来看看C[][]的组成。
             设原始二维数组为：
　 A[][]={{a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19},
                       {a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29},
                   {a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38,a39}，
                       {a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48,a49}};
   那么它对应的二维树状数组C[][]呢？

      记:
             B[1]={a11,a11+a12,a13,a11+a12+a13+a14,a15,a15+a16,...} 这是第一行的一维树状数组
             B[2]={a21,a21+a22,a23,a21+a22+a23+a24,a25,a25+a26,...} 这是第二行的一维树状数组
             B[3]={a31,a31+a32,a33,a31+a32+a33+a34,a35,a35+a36,...} 这是第三行的一维树状数组
             B[4]={a41,a41+a42,a43,a41+a42+a43+a44,a45,a45+a46,...} 这是第四行的一维树状数组

      那么：
             C[1][1] = a11 , C[1][2] = a11+a12 , C[1][3] = a13 , C[1][4] = a11 + a12 + a13 + a14 , c[1][5]=a15.这是A[][]第一行的一维树状数组

              C[2][1] = a11 + a21 , C[2][2] = a11 + a12 + a21 + a22 , C[2][3] = a13 + a23 , C[2][4] = a11 + a12 + a13 + a14 + a21 + a22 + a23 + a24 这是A[][]数组第一行与第二行相加后的树状数组

              C[3][1] = a31 , C[3][2] = a31 + a32 , C[3][3] = a33 , C[3][4] = a31 + a32 + a33 + a34 , C[3][5] = a35 , C[3][6]=a35+a36,...这是A[][]第三行的一维树状数组

              C[4][1] = a11 + a21 + a31 + a41 , C[4][2] = a11 + a12 + a21 + a22 + a31 + a32 + a41 + a42 ，这是A[][]数组第一行+第二行+第三行+第四行后的树状数组

3 树状数组的两类操作

1 单点更新，区间求和

1 一维树状数组，单点更新，区间求和

比如要更新点x ，x点的值加上val即调用add(x , val) ，求区间[1 , x]的和即为getSum(x)

 
int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

int getSum(int x){
    int sum = 0;
    while(x){
        sum += treeNum[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return sum;
}

void add(int x , int val){
    while(x < MAXN){
         treeNum[x] += val;
         x += lowbit(x);
    }
}

2 二维树状数组，单点更新，区间求和

比如要更新点(x , y) ，(x , y)点的值加上val即调用add(x , y , val) ，求矩形[1 , 1] - [x , y]的和即为getSum(x , y)

如上图求矩形的面积为getSum(x2 , y2)-getSum(x1-1,y2)-getSum(x2,y1-1)+getSum(x1-1 , y1-1)

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

int getSum(int x , int y){
    int sum = 0;
    for(int i = x ; i > 0 ; i -= lowbit(i))
       for(int j = y ; j > 0 ; j -= lowbit(j))
           sum += treeNum[i][j];
    return sum;
}

void add(int x , int y , int val){
    for(int i = x ; i < MAXN ; i += lowbit(i))
       for(int j = y ; j < MAXN ; j += lowbit(j))
           treeNum[i][j] += val;
}

2 区间更新，单点求和

1 一维树状数组

更改区间[x , y]，区间[x , y]里面的每个数全部加上val , 查询点k的值

区间[x , y]加上val相当于点x加上val , 点y+1减去val，那么求k点的值就等于[1,k]的和

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

int getSum(int x){
    int sum = 0;
    while(x){
        sum += treeNum[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return sum;
}

void add(int x , int val){
    while(x < MAXN){
         treeNum[x] += val;
         x += lowbit(x);
    }
}

void solve(){
    // 把区间[x , y]每一点加上val
    add(x , val);
    add(y+1 , -val);
    // 计算点k的值
    int num = getSum(k);
}

2 二维树状数组

更改矩形[x1 , y1] - [x2 , y2]，[x1 , y1] - [x2 , y2]里面的每个数全部加上val , 查询点(x , y)的值

矩形[x1 , y1] - [x2 , y2]里面的每一个元素加上val相当于点(x1 , y1)加上val , 点(x1 , y2+1)减去val，点(x2+1 , y1)减去val ，点(x2+1 , y2+1)加上val。那么求某个点(x , y)的值即求[1 , 1] - [x , y]的和

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

int getSum(int x , int y){
    int sum = 0;
    for(int i = x ; i > 0 ; i -= lowbit(i))
       for(int j = y ; j > 0 ; j -= lowbit(j))
           sum += treeNum[i][j];
    return sum;
}

void add(int x , int y , int val){
    for(int i = x ; i < MAXN ; i += lowbit(i))
       for(int j = y ; j < MAXN ; j += lowbit(j))
           treeNum[i][j] += val;
}

void solve(){
     // 矩形[x1 , y1]-[x2 , y2]每个点加上val
     add(x1 , y1 , val); 
     add(x2+1 , y1 , -val); 
     add(x1 , y2+1 , -val); 
     add(x2+1 , y2+1 , val); 
     // 求点(x , y)的值
     int num = getSum(x , y);
}

5 常用的技巧

假设初始化数组每个点的值为1，那么我们知道对于一维的树状数组来说，我们知道treeNum[i] = lowbit(i) . 对于二维树状数组来说treeNum[i][j] = lowbit(i)*lowbit(j)

void init(){
    // 一维
    memset(treeNum , 0 , sizeof(treeNum));
    for(int i = 1 ; i < MAXN ; i++){
        num[i] =1;
        treeNum[i] = lowbit(i);
    }
    
    // 二维
    memset(treeNum , 0 , sizeof(treeNum));
    for(int i = 1 ; i < MAXN ; i++){
       for(int j = 1 ; j < MAXN ; j++){
           num[i][j] = 1;
           treeNum[i][j] = lowbit(i)*lowbit(j);
       }
    }
}

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