Massive Algorithms: 一次寻找邻居单词列表的算法优化

定义一个单词的邻居为，与其长度相同，有且仅有一个字母不同的其他单词。对于一个单词列表，计算所有单词的邻居列表。

例如：单词son与sun为邻居，而与song不为邻居，因为它们长度不一样。

读者朋友们，看完这道题目后，请先进行独立思考，然后再展开阅读。p.s. 本文将不包含具体代码。

暴力法

第一个想法很直白，遍历所有单词，判断彼此是否为邻居，若为邻居，则将彼此加入到自己的邻居列表。

这个算法的复杂度为

。n为单词的个数。当单词超过一万时，意味着有一亿次的邻居查找操作。

即使邻居判定的方法再高效，这个方法也是十分低效的。

请读者暂停阅读，思考一下如何优化。

根据邻居的定义，可知长度不同的单词一定不是邻居，所以对长度不同的单词的互相判断是否为邻居其实是不必要的。

可以先对单词列表进行一次预处理，将长度相同的单词放入到同一个列表中，然后对每一个这样的列表内进行彼此邻居的判定。

假设所有单词的长度可以均分为10份，则每一个列表的长度可约等n/10，整个的复杂度为

，虽然还是

，但是已经比之前的暴力法要高效好几倍。

已经考虑到这一步的同学请再次暂停，思考有无数量级上提升的解决方案。

由于第一次优化并没有将实质性的复杂度降低，所以在单词很多的情况下还是比较低效。

我们需要重新审题，看能不能发现一点什么。

了解正则表达式的同学都知道，s?n这个匹配可以匹配son，也可以匹配sun。也就是说s?n是son和sun的共同匹配。而?un则是sun和gun的共同匹配。

邻居单词之间都有某种联系，这种联系就是它们都有一个共同的匹配。所以，我们可以遍历所有单词，建立以匹配为键，匹配的单词列表为值的字典，然后遍历每个匹配的单词列表，这些单词列表中的所有单词都互相为对方的邻居单词。

例如：

当遍历到单词sun时，sun有三个匹配，[?un, s?n, su?]。匹配字典中将加入这几个匹配，这时候字典的内容为{ ?un=>[sun], s?n=>[sun], su?=>[sun] }。
当遍历到单词son时，son有三个匹配，[?on, s?n, so?]。匹配字典中将加入这几个匹配，这时候字典的内容为{ ?un=>[sun], s?n=>[sun, son], su?=>[sun], ?on=>[son], so?=>[son] }。其中，son和sun共同的匹配s?n对应的列表加入了son。
当遍历到单词gun时，gun有三个匹配，[?un, g?n, gu?]。匹配字典中将加入这几个匹配，这时候字典的内容为{ ?un=>[sun, gun], s?n=>[sun, son], su?=>[sun], ?on=>[son], so?=>[son], g?n=>[gun], gu?=>[gun] }。其中，sun和gun共同的匹配?un对应的列表加入了gun。

对于每一个单词，假设单词的长度为L，则单词有L个匹配。对于n个单词，则最多有n*L个匹配列表。假设最长的匹配列表的长度为m，则整个算法的复杂度为

。由于每个单词的邻居不会太多，所以基本可以将m视为常数。所以整个算法的复杂度为

。

如果当单词列表长度n远大于最长单词的长度L时，这个算法的复杂度将为

，线性时间。

其中本文的最后一个算法与第二章的变位词算法有相似之处。都是基于标识（索引）来解决问题。

而解决问题的关键在于发现问题可以用标识来解决，即邻居间的共性是存在一个共同的匹配，而每个单词的匹配都是有限的（跟单词的长度一致）