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面试中,TopK,是问得比较多的几个问题之一,到底有几种方法,这些方案里蕴含的优化思路究竟是怎么样的,
三、堆
思路:只找到TopK,不排序TopK。
先用前k个元素生成一个小顶堆,这个小顶堆用于存储,当前最大的k个元素。
接着,从第k+1个元素开始扫描,和堆顶(堆中最小的元素)比较,如果被扫描的元素大于堆顶,则替换堆顶的元素,并调整堆,以保证堆内的k个元素,总是当前最大的k个元素。
时间复杂度:O(n*lg(k))
分治法(Divide&Conquer),把一个大的问题,转化为若干个子问题(Divide),每个子问题“都”解决,大的问题便随之解决(Conquer)。这里的关键词是“都”。从伪代码里可以看到,快速排序递归时,先通过partition把数组分隔为两个部分,两个部分“都”要再次递归。
分治法有一个特例,叫减治法。
减治法(Reduce&Conquer),把一个大的问题,转化为若干个子问题(Reduce),这些子问题中“只”解决一个,大的问题便随之解决(Conquer)。这里的关键词是“只”。
二分查找binary_search,BS,是一个典型的运用减治法思想的算法
int BS(int[]arr, int low, inthigh, int target){
if(low> high) return -1;
mid= (low+high)/2;
if(arr[mid]== target) return mid;
if(arr[mid]> target)
return BS(arr, low, mid-1, target);
else
return BS(arr, mid+1, high, target);
}
从伪代码可以看到,二分查找,一个大的问题,可以用一个mid元素,分成左半区,右半区两个子问题。而左右两个子问题,只需要解决其中一个,递归一次,就能够解决二分查找全局的问题。
通过分治法与减治法的描述,可以发现,分治法的复杂度一般来说是大于减治法的:
快速排序:O(n*lg(n))
二分查找:O(lg(n))
问题变成了arr[1, n]中找到第k大的数。
再回过头来看看第一次partition,划分之后:
i = partition(arr, 1, n);
- 如果i大于k,则说明arr[i]左边的元素都大于k,于是只递归arr[1, i-1]里第k大的元素即可;
- 如果i小于k,则说明说明第k大的元素在arr[i]的右边,于是只递归arr[i+1, n]里第k-i大的元素即可;
画外音:这一段非常重要,多读几遍。
这就是随机选择算法randomized_select,RS,其伪代码如下:
int RS(arr, low, high, k){
if(low== high) return arr[low];
i= partition(arr, low, high);
temp= i-low; //数组前半部分元素个数
if(temp>=k)
return RS(arr, low, i-1, k); //求前半部分第k大
else
return RS(arr, i+1, high, k-i); //求后半部分第k-i大
}
这是一个典型的减治算法,递归内的两个分支,最终只会执行一个,它的时间复杂度是O(n)。
再次强调一下:
- 分治法,大问题分解为小问题,小问题都要递归各个分支,例如:快速排序
- 减治法,大问题分解为小问题,小问题只要递归一个分支,例如:二分查找,随机选择
通过随机选择(randomized_select),找到arr[1, n]中第k大的数,再进行一次partition,就能得到TopK的结果。
https://yq.aliyun.com/articles/644716?spm=a2c4e.11153959.0.0.3f0f1047ELmqFI
空间换时间,是算法优化中最常见的手段,如果有相对充裕的内存,可以有更快的算法。
画外音:即使内存不够,也可以水平切分,使用分段的方法来操作,减少每次内存使用量。
TopK问题描述
从arr[1, 12]={5,3,7,1,8,2,9,4,7,2,6,6} 这n=12个数中,找出最大的k=5个。
比特位图(bitmap)法
bitmap,是空间换时间的典型代表。它是一种,用若干个bit来表示集合的数据结构。
例如,集合S={1,3,5,7,9},容易发现,S中所有元素都在1-16之间,于是,可以用16个bit来表示这个集合:存在于集合中的元素,对应bit置1,否则置0。
画外音:究竟需要多少存存储空间,取决于集合中元素的值域,在什么范围之内。
上述集合S,可以用1010101010000000这样一个16bit的bitmap来表示,其中,第1, 3, 5, 7, 9个bit位置是1。
假设TopK的n个元素都是int,且元素之间没有重复,只需要申请2^32个bit,即4G的内存,就能够用bitmap表示这n元素。
扫描一次所有n个元素,以生成bitmap,其时间复杂度是O(n)。生成后,取TopK只需要找到最高位的k个bit即可。算法总时间复杂度也是O(n)。
伪代码为:
bitmap[4G] = make_bitmap(arr[1, n]);
return bitmap[top k bits];
bitmap算法有个缺点,如果集合元素有重复,相同的元素会被去重,假设集合S中有5个1,最终S制作成bitmap后,这5个1只对应1个bit位,相当于4个元素被丢掉了,这样会导致,找到的TopK不准。该怎么优化呢?
比特位图计数
优化方法是,每个元素的1个bit变成1个计数。
如上图所示,TopK的集合经过比特位图计数处理后,会记录每个bit对应在集合S中出现过多少次。
接下来,找TopK的过程,就是bitmap从高位的计数开始,往低位的计数扫描,得到count之和等于k,对应的bit就是TopK所求。
如上图所示,k=5:
(1)第一个非0的count是1,对应的bit是9;
(2)第二个非0的count也是1,对应的bit是8;
(3)第三个非0的count是2,对应的bit是7;
(4)第四个非0的count是2,对应的bit是6,但TopK只缺1个数字了,故只有1个6入选;
故,最终的TopK={9, 8, 7, 7, 6}。
结论:通过比特位图精准计数的方式,求解TopK,算法整体只需要不到2次扫描,时间复杂度为O(n),比减治法的随机选择会更快。